銀行預金の金利は経済状況と密接した関係にありますので、銀行自体が提示している金利がいきなり下がると言う事はご指摘の通り十分あり得ます。

但し、銀行預金の金利には預金の種類により金利が変動するものとしないものとが存在しています。
固定金利と変動金利と呼ばれているのですが、読んで字の如くですね。

固定金利とは預け入れた時の金利が満期を迎えるまで変わらないものを指します。

一般的に言われる定期預金、定額預金はこれに該当しますが、銀行によっては変動金利定期預金と言うものも存在はします。

変動金利とは適用利率が適宜見直されるもので、普通預金はこちらに属します。
ネットバンクではこの変動金利での商品が多い傾向にあります。

変動金利は直接経済状況の影響を受けやすい為、現在の日本ではどの銀行も低空飛行状態です。
残念ながら貯蓄型の預貯金もこちらに属しており、長期の積立貯金を行う場合の利息は余り期待できません。

固定金利に関して言うのであれば、今金利が高い銀行に固定金利の定期で預金をしておけば普通預金の金利が変動であるが為にゼロとなっても定期の方を満期まで保っている限りこちらの金利は下がりません。

金利が下がればそれに応じて利息が下がる訳ですが、固定金利に属する預貯金に関しては単利と複利と呼ばれる利息の計算方法があり、計算式を書くとややこしいので簡単に説明すると以下のようになります。

単利：預金額とそれに対して固定された利率に預金期間を掛け算したもの
複利：一定期間毎に預金額に対する固定された利率を掛けて算出された利息と初めの預金額を足したものを新たに預金額として一定期間毎に利息を計算していくもの

少し複雑だったかもしれませんが、単利が元々の預金額を常にベースにして預金期間と利率で利息を算出するのに対して、複利は半年が多いですが初めは単利と同じような計算をします。

そして次からは初めの預金と初めに計算された利息が、元々の預金額として改めて計算されていくので他の条件が同じであれば固定金利で複利である定期預金が単利よりも利息は増えると言う事になります。

当然金利は固定なので下がりません。

いきなり金利が下がってしまう事が心配であれば、今のうちに金利の高い銀行を調べてみて固定金利の預金を始めてみるのも良いかもしれませんね。

但し1つご注意頂きたいのは、条件の良い定期預金程解約時のペナルティは大きくなります。

スーパー定期や大口定期預金と呼ばれるものは多くの場合でいつでも解約出来る代わりに、いつ解約しても中途解約利率と言って当初の利率よりかなり低い利率が適用されてしまいます。

利率の下がらない状態で満期を迎えられる無理のない定期預金をまずは考えてみる事をお勧めします。